Александр Ключко родился в 2000 году в Саранске. Учился в Московском государственном колледже музыкального исполнительства им. Ф. Шопена, в парижской Нормальной школе музыки (класс Рены Шерешевской). В настоящее время – студент Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского (класс Павла Нерсесьяна).
Лауреат Московского международного конкурса пианистов Владимира Крайнева (2017), Международного конкурса юных пианистов Astana Piano Passion (2017), Международного конкурса пианистов Иль-де-Франс (2018), Международного конкурса пианистов им. Паломы О’Ши в Сантандере (Испания, 2018), Манхэттенского международного музыкального конкурса (2020), Международного конкурса пианистов «Озеро Цзиньцзи» в Сучжоу (Китай, 2021).
В 2022 году был удостоен I премии и золотой медали на Международном конкурсе пианистов, композиторов и дирижеров им. С. В. Рахманинова (Москва).